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数学

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小学校[編集]

算数

中学校[編集]

負の数[編集]

  1. マイナス×マイナス=プラス
    • (-5)-(-6)=-5+6=1
    • (-5)×(-6)=5×6=30
    • これが定着する以前、修道士だったかの手記に「借金かける借金が財産であることをみんな分かってくれない」みたいなボヤキがあったとか。
  2. 負の数を扱えると、符号にさえ注意すれば項を左右に自由に移項できるようになる。
  3. 使用する場面といえば…気温、標高、ゴルフのスコア。高校では電荷でも使用する。

累乗・指数[編集]

  1. 「aのb乗=ab」のような形で覚えさせられる。
    • 「10n」なら、「1の後に0をn個並べて書く」だけなので、とても簡単に見えるが、底a・指数bの値が大きくなるごとに計算の手間がかかることを実感させられる。
      • 10の累乗数で説明するより、2の累乗数で説明した方が解りやすい。
        • 20 = 1(優勝チームは1つだけ)。21 = 2(決勝には2チームが出る)。22 = 4(準決勝には4チームが出る)。23 = 8(準々決勝には8チームが出る)。24 = 16(ラウンド16)。
    • 高校になると指数のとる範囲が実数に広がる。
      • 0の0乗(=0÷0)はない。
        • 「00 = 1」とする説もあるけどね。実際、「n0 = 1」をスタートに定義したほうが上手くいくらしい。
          • 23 = 1×2×2×2 = 8 , 03 = 1×0×0×0 = 0
            • 説というか、その都度定義するのが主流のやり方。f(x)=ax(a is not 0)でグラフを描くと全ての点で連続になることからao=1と定義するのが数学上扱いやすい。また、上にも出てきてる通り0nから考えると00=0と導けそう。
            • 2-3 = 1÷2÷2÷2 = 1/8
  2. 実は√n=n0.5に等しい。が、中学の指数では小数が用いられない。
    • 実務レベルでいうと、十種競技の得点の計算で用いられる。
  3. 数字が爆発するいい例
  4. 数字の桁が多すぎる場合、6.023×1023のように、省略するために使うことも多い。
    • 同様に小数点以下が多すぎる場合も9×10-9という形で使うことも多い。

方程式[編集]

  1. XやYやZをひたすら使う。
    • xyzじゃない?
    • 手書きの際には筆記体が用いられることが多い。
      • 筆記体でyとzは紛らわしいので、zだけはブロック体(2との区別で斜めの棒に線を入れる)。
  2. これを覚えると鶴亀算を苦労してやっていた事がバカバカしくなる。
    • だがSPIなどでは逆に鶴亀算を使った方が早く答えられる。
  3. 解の公式が何故か印象に残る。
    • ここで2次方程式でもルートの中が負の数になり、「解なし」になる事例があることを知る。厳密には「実数解なし」だがそれを知るのは複素数・虚数を習ってから。
  4. 理論上五次だか六次だかまで行くと解答不能になるって本当?
    • 正確にいえば、5次以上の方程式になると解の公式が存在しないってこと。
      • 3次方程式の解の公式ですら長すぎて、手計算は現実問題では無理。(不可能ではないが)
    • 厳密に数式の形で表す方法が存在しないだけで、コンピュータなどを使って小数第◯位まで無限に近似していくことは可能。また、特別な場合(x23=1 とか (x+1)(x+2)(x+3)...(x+23)=1 とか)なら一瞬で求められる。
    • 代数的に解決できないだけなので、実は三角関数とか使うと解ける。角の三等分が定規とコンパスだけじゃできない(けど他の作図方法は可能)というのと同じ。
  5. JFKとかYFKとかスコット鉄太朗なんかもこれの1種らしい。
    • 数学的に文句を言うなら、勝利の方程式じゃなくて「勝利の定数」のほうが正しいのか?
      • 「勝利の作用素」とか「勝利の演算子」とかのほうがしっくりきそう。
      • 「定数」だと必ず勝てるんだろうけど、間違うこともあるからやっぱり「方程式」。
  6. 連立方程式の解法には代入法と加減法の2種類があるが、二次式の場合加減法が使えないので注意。
    • 「代入法と加減法」と覚えてしまうと、大学入試で詰むことが多い。連立方程式を解くのに必要なのは、本当は「変数を消去する」こと。代入法と加減法は変数消去の1つの手順に過ぎない。
    • 式や未知数が多いと「あれをこれに代入して、あれとこれを足し引きして...あれ?」と混乱する。
  7. 一次方程式は最初は苦労することがあっても最後はアホみたいに簡単になる。
  8. というかそもそも、「ただの穴埋め算」と言っても過言ではない。
  9. 方程式でつまづく原因の一つが「移項」らしい。
  10. やたら小説で比喩として使われる計算の1つ。

不等式[編集]

  1. 方程式の場合は「=」ですむが、不等式になると「<」「≦」「≠」「>」「≧」を使い分けなければならず、混乱する。
    • 方程式で正解できても、「<」「≦」「≠」「>」「≧」のいずれを使えばよいかわからなくなる。
      • 適当に「a=1,b=2」とか放り込んで、成り立つかどうか確認するのが一番早い。
  2. グラフを書いて、この直線(方程式の線)から上側、下側と考えればちょっとわかる。
  3. 概念としては、既に小学校で「~以下・~以上」、「~未満・~を越える数」という表現を学ぶ。
    • この時点でしばしば、10未満と9.9以下を混同することが多い。
  4. 「~を越える数」は「超」という表現が用いられるが、語呂も文字数も合わないせいか見る機会は他の3つに比べて格段に少ない。
  5. 英語における「under~・over~」は「~以下・~以上」ではなく「~未満・~を越える数」を意味する。
    • サッカーなどの「U-20代表」は本来は20歳未満の選手のはずだが、実際は20歳以下で構成されている。
      • 開催年の前年末時点で20歳未満という条件だからだが、紛らわしい表現である。
    • ちなみに英語では「~以下・~以上」を一語では表現できない。
      • 「x or under・x or over」(xと同じか、それ未満(それを超える数))と回りくどい表現だが、そのまま不等号の「≦」「≧」に対応してる。

関数[編集]

  1. 概ねグラフや放物線が一緒に付いてくる。
    • Excelかその他の表計算ソフトを使うと簡単に書ける。
      • 式から書くなら理系御用達gnuplot、初心者ならgrapesあたり。
        • Google検索に数式を放り込んでもプロットしてくれる。
    • 中学では一次関数か、二次関数ならかならず原点が頂点じゃないといけない。
  2. 習うこと自体は中学の時だが、関数電卓を使うのはもっと後になってから。
  3. Excelを使うと楽に計算できるが、当然ながらテストでそんな事が出来る訳もなく…。
  4. 中学で習う二次関数は頂点を原点に固定する学習指導要領は意味不明。
    • 教科書のタイトルは「2乗に比例する関数」あるいは「y = ax2」。先生は「2次関数」って言っちゃってたけど。
  5. 数学では式からグラフを導き、理科ではグラフから式を導く。
  6. 反比例は分母に変数が現れる、中学では異質な単元。
  7. 理数系以外の一般の文章で◯◯に比例する/反比例すると書いてあったら、それぞれ右上がり/右下がりの1次関数であったりする、もっとも「関数」ですらなく、(統計分野で習う)正/負の相関があるというだけに過ぎないが。
    • 関数とは一方の値を定めるともう一つの値が唯一つに定まる場合のことを言うが、日常生活でそんな関係にあるものに出会うことはまずない。
      • 例えば物の値段と税込み価格の関係は明確に関数。日常生活にないと思うのは甘い。

素因数分解・因数分解[編集]

  1. 「積」を掛け算される前の状態に戻す計算。基本的に限界まで分解する。
    • 1を取り出していくと際限がないのでこれは無視する。
      • だから1は素数として扱われない。
  2. たすき掛けがスムーズに行えればだいだいOK。
  3. 大数の、最大公約数・最小公倍数を求める際、約数の個数や総和を求める際は素因数分解するといい。
  4. 「あらゆる整数は素数で一意分解される」という性質は古代ギリシャから知られていたが、それがちゃんと証明されたのは意外と遅く18世紀末のガウスが初。あまりに当たり前過ぎたため誰もその必要性に気づいていなかった。
  5. 各長方形を組み合わせて別の長方形を作るとき、その1辺の長さを求めることに相当する。
  6. これは一意に定まる。

乗法公式[編集]

  1. (x+y)2=x2+2xy+y2
    • (x-y)2=x2-2xy+y2
  2. (x+y)(x-y)=x2-y2
  3. (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
    • 因数分解するときは足してxの係数、掛けて定数項になる2数を見つける。
  4. これの計算問題は「作業」になりがち。

平方根[編集]

  1. 富士山麓オウム鳴く。
    • 一夜一夜に人見頃。
      • いよいよ兄さん殺す…(1.41421356)
    • 人並みに奢れや女子(おなご)。
      • 人並みに奢れないケチな人を「√3な人」というらしい。
    • 菜に虫いない。
  2. 中学数学を理解できていないとここで確実に詰む。
    • 高校以降になると物理や三角関数にも「√ ̄」が登場したり、しまいには3乗根(=3√ ̄)まで使うので、間違いなく詰む。
  3. 中学の数学で「虚数」を教わらないので、どうして平方根の中をマイナスにしてはいけない(=√-1がない)のか理解できない。
    • 正の数も負の数も2乗すると正の数になるので、負の数からさかのぼっても行きつく先がないから、「√-1は存在しない」ということまでは理解できる。
  4. 根号の中の正負を判定する必要性がある問題が時折みられる。

確率[編集]

  1. 大体の場合初歩的な計算はサイコロの目で覚えることになる。
    • n/6、n/36、n/216などの分数がある場合は大体これの答え。
  2. 「順番が決まっているか否か」で確率の数値が異なるのが地味に厄介。
    • X人の男子とY人の女子からZ人の役職を選ぶ…的な問題には大体このトラップが仕掛けられている。
  3. 降水確率が10%なのに強い雨が降ると怒る人がいる。降水確率って「降る確率」であって、「降雨強度」とは別物なのにね。
  4. 学校でならうものではないが、「モンティホール問題」がすぐに理解できない。
    • 3つのうち1つがアタリで、回答者が1つを選択したところで、司会者が選択しなかった2つのうち、ハズレを1つ開けてくれる。このあと、回答者はもう一度残った2つ(始めに選択したものと、選択せず司会者がハズレとしなかったもの)から選び直すことができる。このとき、選択肢を変えた方があたる確率が高い。
    • 正直、ウィキペの解説はわかりにくい。
  5. 1%の確率と聞くと100回試せば一回は出ると解す人が多いが実際には独立した試行だと100人がそれぞれ100回引いても3割以上の人が外す。
    • 具体的に書くと当たり1、外れ99の計100個の球が入った箱から1個取り出し確認したら戻す方式。
    • 冷静に電卓叩けばパチンコする気や宝籤を買う気が吹き飛ぶこと請け合い。
    • ソーシャルゲームのガチャに熱くなる人なんかもこの辺りを勘違いしている場合が多い。
  6. 「少なくとも〜」という表現が出てきたら、余事象の出番。
  7. 小学校では、「確からしさ」という。
  8. 中学だと理論的要素がない
  9. 中学校数学でも、負の数・文字はあまり使われない。
  10. 元々は賭博の損益計算をするために考え出された。ちなみに結論は「一番いいのは賭博をしないこと」だったそうな。
  11. コンピューターゲームでは計算の都合上、n/255かn/65535が使われる事が多い(16進数2桁と4桁)。

中学校で習う図形[編集]

  1. (柱体の体積)=底面積×高さ
  2. (錐体の体積)=底面積×高さ÷3
    • 「÷3」を証明するためには、積分を使うか、積分のような考え方を使わなければならない。
      • そのため透明な三角柱と三角錐の容器を用いて、三角錐何個分で三角柱の容器が水でいっぱいになるかやらせることも。
        • だが水がこぼれるのできれいに3倍になるはずもなく…
      • 図形として分解し、1/3になることを解説した図を教科書で見た覚えがあるが(中学時代。当然微分積分はまだ習っていない頃)
        • 分解された三角柱を「寄せ集めて(他の角錐とか円錐とかに)変形する」作業が“積分のような考え方”ってことね
  3. (柱体の表面積)=(底面積×2)+(底面周×高さ)
  4. (錐体の表面積)=底面積+(底面周×母線÷2) ※直錐の場合
  5. (球の表面積)=4π×(半径)2
  6. (球の体積)=(4/3)π×(半径)3
    • 円錐の体積とピタゴラスの定理(三平方の定理)が分かっていれば、積分のように考えると証明できる。
    • 球の表面積と体積を混同する
    • 体積は、「身の上に心配あるから参上」
    • 中学校の数学で、公式の導き方を教えられない数少ない公式。ただし、実験をするケースはある。
  7. 円錐の側面積は習わないが比較的簡単に求まる。(弧度法にかするところがある)
    • ただし数学IIIの知識が必要。
  8. 合計体積は同じでも表面積を変えることはできる。その方法として粉砕することが挙げられる。例えば1辺1 mの立方体を0.1 mmの立方体に粉砕(各辺10000分割)した時、合計体積は1 m3で変わらないが表面積は6 m2が60000 m2(大体1辺245 mの正方形の敷地と同じくらいの広さ)になる。
    • これを応用したのが均一触媒や活性炭。表面積=接触原子数を増やすことで反応しやすくしたもの。

作図問題[編集]

  1. (図を)書けと言われたら分度器なども使えるけど、作図しろと言われたら目盛のない定規とコンパスしか使えないらしい。
    • さらに、定規も角を使ってはいけない。直線を引くことしか使えない。
  2. 垂直二等分線の交点が外心、角の二等分線の交点が内心。
  3. 円の接線を作図する際に必要なのが、タレスの定理。
  4. コンパスの針を外してしまう、定規がずれてしまうなど、ちょっとしたミスでも初めからやり直し。
  5. 角の2等分線は定規とコンパスで作図可能であるが3等分線はできない。なお、さしがねで作図可能とのこと。

証明問題[編集]

  1. 難しいが配点の大きい分野なのでしっかりマスターしたい。
    • 高校と違い答えのみを書かせる場合が多いが、証明問題と作図問題のみ過程も書かせ、評価する場合が多い。
    • この証明問題を誘導として辺の長さなどを求める問題が続く。
  2. 合同条件、相似条件、平行四辺形の条件などがいくつかあるので、それを覚えておき、結論から逆算して考えるとうまくいくことが多い。
    • 対応する辺がそれぞれ等しいのが合同、辺の比がそれぞれ等しいのが相似。
  3. 太い枠で囲まれた、対頂角、同位角、錯角、平行線の性質は、ここで活かされるので、『だから何?』と言わずに少し辛抱を。
  4. 中学校は図形の合同・相似のみ。式の証明などは高校になってから。

高校・大学[編集]

  1. 文系と理系でどこまで習ったかが違う領域。
    • …なのだが、ごく稀に文系でも数IIICを履修している人がいる。一体何故…?
      • 一部の情報学部の地歴公民選択でも、数IIIは必須って事も。IIBだけでも入れるとこもあるが、本気で理系的な研究をしたいなら後々苦労する。(実際やった人)
        • 数IIBの捻った問題解くより、数IIIのシンプルな問題解いた方が楽ではある (数学教師談) 。あとIIBの問題の理解がより深まる、って理由もある。
        • 経済学部だとたまに数III選択可ってのがある様子。別に文系みんなが数学嫌いってわけじゃないし。
      • 京大の文系数学だとたま数IIIの知識があると楽に解ける問題があったりして、余力のある文系受験生がやっていたりする。
        • 昔は文系でも数Cが必要というケースもあったような記憶がある。
    • さらに言えば進んだ分野によって習うものすら変わってくる。
  2. いくつかは、高校で習うときと大学で習うときに記法が変わることがある。微分やベクトル、二項係数など。
  3. 文系の道を進んでも大学の学部によっては数学にお世話になることがある。なので、数学が嫌いで文系を選び、なおかつ完全に数学から解放されたい場合は、よく慎重に大学の学部を選ぶこと。
    • 「経済学部」は高校レベルの数学が全部わかっているくらいでないと冗談でなく死にかける。センター試験レベルの数学も怪しいなら、商・経済はよしたほうがいい。

乗法公式[編集]

  1. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
    • acではなくcaと書くのは覚えやすくするため
  2. (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
    • 因数分解するときはacがx2の係数、bdが定数項、ad+bcがbdがxの係数となるように「たすき掛け」を行う。
  3. (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
    • (x-y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
  4. (x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)+abc
    • これは教科書には載ってないが
    • (ax+b)(cx+d)(ex+f)=acex3+(acf+bce+bde)x2+(adf+bcf+ace)x+bdf
      • これはもう展開や因数定理使ったほうが楽。
  5. 上記や類似の等式で係数比較をしたものがn次方程式の解と係数の関係である。

虚数[編集]

  1. 中学で平方根と2次方程式を習った際、どうして平方根の中をマイナスにしてはいけない(=√-1がない)のかを、ここで理解する。
  2. 「虚数単位 i」 と 「i2 = -1」を理解すると
    • 「√(-1)×√(-1)」=「 i × i 」=「 -1 」
    • 「√(-1)(-1)」=「√1」=「 +1 」
      • より、「 +1 = -1 」という奇妙な式ができることに気づき、その矛盾に悩まされる。
        • 「√a√b = √ab はaとbが正のときだけ成り立つ」というのが正解だが、この式を2乗して証明したことを数年経ってから覚えているはずもなく。
          • √(-a)√(-b)=√a×i×√b×i=√(ab)×i2=-√(ab)になるので、負号はルートの前に出る(a,b>0)。マイナスのルートは、iとその係数に分割して計算すればよいだけなのだが…。
  3. 実数でなく人間が無理矢理作った数のように思えてならない。
    • だが、電気工学での複素解析では何故か役に立つ存在に!
      • ちなみに、電気のほうでは、iは電流をあらわすので、混同しないようにjを使う。
      • 三角関数をeの虚数乗で表せるため。
    • 又の名を「想像上の数」。
    • まあそれ言ったら負の数だってそうだったわけだが(借金という概念は昔からあるけど、それは単に不足を意味しており、マイナスの何かが存在するわけではない)。
  4. iに該当する数は2つ存在するがそんなこと誰も気にしない。
  5. もし虚数がなかったら、
    • PCはおろか、電子計算機すら作れなかった。
    • 21世紀になっても、飛行機すら作れなかったかもしれない。
  6. 「虚数」の「虚」は、訓読みでは「うつ」「むな-しい」と読む。
    • 間違っても「うそ」(嘘)の数、という意味ではない。

三角関数[編集]

  1. sin,cos,tan…基本的にはこの3つ。
    • どの辺とどの辺の組み合わせかは、頭文字の筆記体を憶えていると簡単だったりする。
      • 数学の先生曰く「わざわざ筆記体を書くために図形を回すのはバカバカしい」
    • 本当の基本は、sin,sec,tanの3つで、それぞれにco-がついて(cos,cosec,cot)補完してるんだけどね。
  2. 理系でも分野によっては切っても切り離せないほど、嫌というほどお世話になる。
  3. 関数電卓の有り難味を知るところの一つ。
  4. 正弦定理、余弦定理、加法定理などは定理の求め方も含めて覚えておいたほうがいい。
  5. さらに、アークサインとか、ハイパボリックサインとか出てくると頭が混乱する。
    • sin-1(x)はsin(x)の逆算だからまだ理解できるけど、sinh(x)=(ex-e-x)/2がどうひねったら三角関数と関係があるか悩みまくった。
      • アークサインはサインの逆ではなく、逆であるというのも大きなな引っかけ。
      • sin2(x)=(sin(x))^2なので、同じように考えてsin-1(x)=1/sin(x)と勘違いしやすい。
    • ある大学生向け数学参考書に「定義式が似ているだけで無関係」
    • 地味にオイラーの公式(e^iπ=-1) を使えば簡単に理解できる。
      • eix=cosx+isinxだと思う。これならcosx=cosh(ix), sinx=sinh(ix)/iとなる。
  6. sin,cos,tan…はかつては中学でも習っていた。
    • 普通に中学生でもわかる
    • この順番はsinはx座標、cosはy座標って勘違いするからだめ
  7. 2乗を足すと1になる公式は常識

式と証明[編集]

  1. (相加平均)≧(相乗平均)≧(調和平均)
    • 相乗平均は比率の平均を、調和平均は速度の平均を求める際に使うことがある。
      • 言い換えると、その値をそのまま相加平均で計算しても速度の平均は出せない、ということ。
  2. たまにこれを使うとアホみたいに簡単に解ける証明問題が大学受験で出てくる。
    • 認識を誤ると危険
  3. 使える類型がわかりやすい

指数関数[編集]

  1. 下記、対数関数の逆関数。
  2. 一番メジャーなのはeの指数関数。
    • eは2通りの定義がある。一つは(1+1/n)nの極限で、もう一つは指数関数y=axのx=0での傾きが1になるようなaの値。どちらかを前提とするともう片方は導ける。
    • 自然科学ではこのeがよく出る。おそらく式自体を微分方程式から出し、その方程式は導関数が元の関数の定数倍になっていたからと思われる(例:反応速度式、放射性物質の壊変など。要はものが多くあるほどなくなる量も増える、というイメージ)。自然界によく出るから「自然」対数の底、というのだろう。
  3. 基本的に底は正の数。
    • 無理やり負の底を定義することもできそうだが、実数全体で不連続な関数となる(定義できない点がそこかしこにあるため)。

対数関数[編集]

  1. 数IIIになると常用対数(底が10)に加えて自然対数(底がe(ネイピア数))が出てくる。
    • 底を省略して単にlog(x)と書くと普通は常用対数だが、自然対数をln(x)と書かずにlog(x)とすることもあるので紛らわしい。
      • 常用対数をlog(x)、自然対数をln(x)とする分野と、常用対数をLog(x)、自然対数をlog(x)とする分野がある印象。
        • 自然対数ln(x)のほかに常用対数をlg(x)、二進対数はlb(x)としているのは国際規格のISO。しかし計算機分野では二進対数にlg(x)を使うのでさらにややこしい。
        • 数学など、対数関数の微分・積分が必要な分野では、底を省略しているものは自然対数。
        • 電気工学では、実際の数値[dB]が求められるため、常用対数を表すために底が省略される。
    • 自然対数の底eをエクセルで計算してみると、級数の収束、を実感できる。
    • ふなひとはちふたはち…
  2. log102≒0.3010 log103≒0.4771は何度も使ううちに覚える。
    • 電子工学では、遮断周波数というキーワードでおなじみ。「-3dB」
  3. 指数の逆算だということが、すぐにピンとくれば理解しやすい。
    • 証明問題でもlogに直さずに20.3010<10<20.3011で計算すればいいのに。
  4. 昔の数学の教科書には巻末に対数表というものが載っていてだな。
    • 今の数Ⅱの教科書にも常用対数表はあるがそれとは別物?
      • いや基本的に同じもののはず。今でもあるとは驚きだ。今の教師は表の見方分かるのかな。
    • 少し前に丸善が冊子版対数表の復刻版を出したらしい。
    • 確か、片対数グラフや両対数グラフもかつてあったような。
  5. マグニチュード、pH、等星(星の明るさ)でおなじみ

微分・積分[編集]

  1. 微分は比較的簡単だが積分は難しい印象がある。
    • さすがに数IIBレベルならともかく、IIIだとかなり捻った式変形が求められる。
      • 極限だけは求められるが不定積分は求められないもの(例:ガウス積分)、計算そのものができないものもある。最もこういう時は適当に記号を書いて(例えばガウス積分の不定積分はErf(x)とする)うまくごまかしている。
        • 厳密な計算はできなくても、テーラー展開をすれば多項式の積分だけになるので、近似値は求められる。
  2. 経済学を勉強する上で絶対必須になる計算ツールの一つ。特に微分は分かっていないとミクロの初歩でさえ解けなくなる。
    • 理系は一部分野を除けばほぼ必須。偏微分、多重積分など色々と。
      • 線形代数(下記、ベクトルと行列)もセット。
    • ちなみに微分したものの語頭にはなぜか限界(marginal)の二文字が付く。
  3. 速度(m/s)のグラフがあって、総移動距離(累積、m)を求めるのが積分、加速度(変化量 m/s2)を求めるのが微分。単位の次元も積分すればあがるし、微分すれば下がる。
  4. ♪ビブン、セキブン、いい気分とか言い出すヤツがいる。
    • 微分=「微かに分かる」、積分=「分かった積もり」。
    • 微分は割り算、積分はかけて足し算。
  5. 微分・積分、の他に導関数・原始関数という用語も出てくる。導関数はイメージ的にわかりやすいが原始関数はちょっと違和感がある。
    • 導関数の英語「デリバティブ」は金融用語としてイメージ最悪。
  6. ベクトルも微分・積分を定義できる。成分ごとに微分・積分すればよい。
    • 変数が同一式内にある偏微分や重積分と混同しないように。ベクトルの場合は完全に独立している。

微分方程式[編集]

  1. 一番メジャーなのはy'=ayの形のもの。自然科学でよく出る。解は底がeの指数関数となる。
  2. 次によくあるのは2回微分が出るもの。主に質点の振動がこの型になる。
    • y"+ay'+b=fの形は、外力による強制振動を意味する。aは振動を小さくする抵抗力となる。fが三角関数の時、解の三角関数の部分に含まれる周波数と一致した時に限り解の値は上限がなくなる(共振)。これで解釈できる例に強風による橋梁の破壊が挙げられる。
    • これを解くにあたっては、行列の指数関数を定義する形になる(後述)。
    • 解は虚数成分を含む場合振動成分が含まれる。実数成分は振幅の変化に関わる。
  3. 求めたい関数が複数ある連立方程式の形の時は、同じく係数を行列で表し、対角化すればよい。このとき、上記1.の形になる。
  4. 普通に解けない場合は、テーラー展開して係数比較したり、微分方程式をグラフ描画するなどで、多項式として近似する。

集合[編集]

  1. Āのように上に棒を書くことで集合Aではないという意味になる。
  2. AかつBが、A∩B。AまたはBが、A∪B。
  3. 集合の要素の個数の公式として、n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)、n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(c)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)といったものがある。
    • ベン図に書くなどして確かめてみよう。
  4. ベン図が問題なく使えるのは集合が3つの時まで。
  5. ド・モルガンの法則は覚えといて損はない。
  6. 問題にはしにくいのに、現代数学の根本をなすきわめて重要な考え方だったりする。
  7. ベン図は証明に使えない
  8. 必要条件と十分条件に戸惑う
    • 右が十分で左が必要なのだが、なぜこうなるの?と最初思ってしまう。
      • 実例を一つ覚えておくべし。それに当てはめればOK。

順列・組み合わせ[編集]

  1. 計算式にびっくりマークが出てくる。
    • CとかRも出てくる。
      • RじゃなくてPの間違い?
    • そういや高校の時の数学の先生が、メールやLINEでびっくりマークが出てくると、何かの組合せではないかと思ってしまうとか言ってたな。
  2. 円順列や数珠順列といった概念が出てくる。
  3. 習わないが一応完全順列もある。
  4. nチームで行うリーグ戦の総試合数はnC2(n個から2個を選ぶ組み合わせ)。
    • 例えば4チームなら4C2で6試合。
    • ただしホーム&アウェーで2回ずつ対戦する場合はその2倍、つまりnP2(n個から2個を並べる順列)。
  5. n人のキャラクターのカップリングの数はnC2
    • 攻めと受け(例えばAとBのカップリングならA×BとB×A)を別々に数える場合はnP2

命題[編集]

  1. 計算を一切伴わないのに、何故か数学で教わることになる分野の一つ。
    • 確率や場合の数と違い、数理的思考より論理的思考を使うだけに、これが数学にカテゴライズされるのが非常に謎。
    • 逆に言えば計算の才能がなくてもこちらや推論の才能が秀でている場合もある。
    • 心理学的分野でもある。
    • ある理系出身の国語教師の苦手分野。なぜだ~。
  2. 逆・裏・対偶の3つを駆使して答えを割り出す。
    • 対偶よりも裏のほうが厄介だった記憶が…。
    • たまに逆と裏がどっちがどっちだったかごっちゃになる。
    • 対偶と元の命題の真偽は一致するので、対偶の命題に直すと真偽がわかってくることがある(対偶法)。
  3. 大した内容ではないくせにセンター試験で小問で出される。厄介。
  4. ある命題の否定を仮定して、その矛盾を突くことによりその命題が正しいことを証明できる(背理法)。正攻法だと悪魔の証明になりそうな時に行う。
    • よく考えたら、対偶証明法と背理法って同じことをしてるともいえるのでは?
      • 異なる。「Chakuwikiはwebサイトである」といいたいときに「webサイトでなかったらブラウザで見れないはずだから正しい」というのが背理法、「webサイトでないものはChakuwikiではないので正しい」というのが対偶を用いた証明。
      • それら自体は別物。「言い換えると辻褄が合わないのが分かりやすくなる」という感じで、この2つを併せてよく使う、という事。
  5. なぜかセンター数学にも出てくる。ややこしいから?
    • 一問一答にしやすいからでしょう。
  6. たまに対偶法によって偽と証明されてしまう言葉がある。
    • 例.「お客様は神様」→対偶「神様じゃなきゃお客様ではない。」これはあり得ないのでよってこの命題は偽である。
      • あと「平氏であらんずば人にあらず」もこれで偽と証明される言葉である。もっとも言った本人がそんなの意識している訳はないのだが。
    • ノムさんの格言「勝ちに不思議の勝ちあり、負けに不思議の負けなし」もこのたぐいだろうか?
      • 勝ち・負けは同じ事象(勝負の決着がつくこと)を反対側の立場で言ってるに過ぎないので、これは言い換えると「不思議な勝負の付き方はあるが、不思議な勝負の付き方はない」という矛盾したことを言ってるのと同じなので、どう考えても偽なんだが。
  7. たまに「逆もまた真」と言いつつ裏命題を持ってくるやつがいる。素で間違えている場合も往々にしてあるが、意図的に混合して強引に主張を通そうとする場合は「前件否定の詭弁」になる。

数列[編集]

関連項目:数列辞典

  1. 等差数列、等比数列、階差数列などがある。
    • 複利計算は等比数列の問題に近い。
  2. 複雑な数列は漸化式を使って求める。
  3. 計算チェックは適当に1、2を代入すればおk
  4. 理系は漸化式は完璧にできて当たり前の扱い。
    • ある予備校の先生いわく、「解けて当たり前、以下に作れるかが大事」とのこと。
      • 漸化式を作るのは一から自分で作らないといけない場合(確率系の問題がこれに当てはまる)と計算すると勝手に出る場合がある。
  5. 漸化式は色々な形式がある。主なものとしてはうまく式変形したら等比数列の漸化式になるものと差を取って和の部分をもとの数列に直すものがある。
  6. 数列⇔数列の和と関数⇔原始関数の関係は似ているような。

数学的帰納法[編集]

  1. わざわざ「数学的」と付いているように、普通の帰納法とは明確に違うものとして区別されている。
    • というか、そもそも帰納ではなく演繹。
  2. センター試験で出題されると大バッシングの嵐になる。
  3. 数学の教師は「ドミノのやり方」ということも。
  4. 「今日じゃなくて明日でいいや」
    • 翌日「今日じゃなくて(ry」
      • その翌日「(ry」
        • (ry
  5. 基本的にはn=1での成立を確かめたのち、n=kでの成立を仮定してn=k+1での成立を示す。これによりn=1でOKだからn=2でもOKだからn=3でもOKだから…と繰り返してすべてのnについて成立を確かめるイメージ。
    • ただし、n=k,k+1と2つ仮定が必要な場合がある。nが指数に来る場合に多い。また、n=1,2,..kまですべての仮定を取るもの、背理法と組み合わせるものなど、いくつかパターンがある。

推論[編集]

  1. 命題同じく、計算を伴わないのに数学として扱われることになるジャンル。
  2. 企業の採用試験では特に好んで取り入れられる。時間がかかる+複雑な思考力が問われるためか。
    • SPIの対策本では他の非言語問題と比べても明らかに多くのページが割かれている。
  3. 推論の条件は複数示されているが、たまに嘘つきが1人以上紛れ込んでいる。
    • わざと特定の条件を隠し「この条件を完全確定させるにはどの条件を足せばよいか」という問題が出される場合もある。

ベクトル[編集]

  1. 記法が矢印だったりドットだったり太字だったり…。
    • 式は合っていてもちゃんとベクトルとして書かないと厳しい教官の場合は○がもらえないなんて場合も。
    • スカラーとベクトルの書き分けができていない答案は論外。「太字は3次元、矢印は4次元(相対論)」「一般のベクトルは太字、幾何ベクトルは矢印」と使い分ける場合がある。
  2. 内積と外積、ココらへんがこれをややこしくしていく。
    • ちなみに外積は3次元でしか定義されない。4次元以上に拡張しようとしている人もいるが流派がいくつかあるようで。

統計[編集]

  1. 平均値以外にも中央値、最頻値なるものがあることを知る。
    • 中央値は実用でも意外と使い道がある。
    • 最頻値は階級分けを適切に行わないとあまり意味のないデータになる。
    • 第1四分位点と第3四分位点も忘れずに。
    • 平均値、中央値、最頻値は中学で習わなかったっけ?
  2. 標準偏差の計算のとき、なんでいちいち二乗してから足すんだろう、めんどくせえのになあ、と思う。
    • 二乗しないと偏差の正負が打ち消し合って和が0になるため。2乗和の平方根以外に、絶対値を合計することでもそれは回避可能(平均偏差)。
      • しかし、絶対値記号を外すのが難しいため、簡単に取り扱える2乗が好まれる。最小2乗法も似た感じ。
  3. 授業で正式には偏差値なるものは教えないが、それでもみんないつの間にか知っている。
  4. 一方の値が増えるともう一方の値も増える/減る傾向がある場合、正/負の相関があるといえる。
    • データA,Bがある場合、共分散ABをA,Bの標準偏差で割ることで相関係数が求められる。
      • おおむね、その大きさが0-0.2の場合無相関、0.2-0.4の場合弱い相関、0.4-0.7の場合中程度の相関、0.7-1で強い相関とされる。1に近づくほど散布図に表した時に直線的な分布になる。
        • 相関係数が+1だと右上がりの1次関数に、-1だと右下がりの1次関数になる。
        • 相関係数の定義は「直線に乗るかどうか」である。このため、相関係数が0だとしても2データが独立に動いているとは限らない。例えば、2データがy=x2の関係にあり、かつデータxがy軸対称に分布している場合など。
  5. 会社入ってから、実際のデータ(製造物の重さとか)を測定したら、「正規分布」に近い形になって、「自然の法則に従うもんだ」とちょっと感動したりする。
    • 「大数の弱法則」と「中心極限定理」。ランダムサンプルの分布は正規分布に従う。

偏差値[編集]

  1. 中学受験を経験している者は小学生の時からお世話になる数字。
    • 偏差値によってクラスが変わることも。
  2. 受験業界では身近であるが、実は統計の一分野であることを知られないことが多い。
  3. 平均点は偏差値50、偏差値10の違いは、標準偏差1に相当する。
    • そのため、偏差値40~60には全体の約3分の1、偏差値50~70には全体の約95%が入るらしい。
      • 但し、これは、得点分布が正規分布とみなせる場合に限られる。
    • 平均が偏差値50に来るようにしただけであって、0~100の範囲に収めたわけではない。そのため極端なケースでは偏差値マイナスや100以上になることもある。
  4. 値は母集団に左右されるため、「どの母集団での数値か」が重要。母集団を明らかにせず、偏差値だけを使って煽る輩もいるので要注意。
  5. 数学的な意味を完全に外れてしまい、単なる格付けのスケールになっている事もある。
    • 例: 70〜 難関、60〜70 上位、50〜60 中堅、40〜50 下位、〜40 底辺
      • ちなみに受験界隈では、やたらと偏差値70以上の自称進学校が多い。本来なら上位2%のはずなのにね。
        • 進学に価値をおいてるところしか宣伝しないから矛盾しないのでは?うちは偏差値50ですとはいわんだろう。
        • センターの志願者数が大体50万人くらいだとすると、大体1万人くらいが偏差値70以上になるはずなのですが...。
  6. 一応標本が極端に偏れば、偏差値0や100以上になる場合もあるそうだ。
    • 河合塾の模試で、結果返却の際一緒にもらえる情報誌に得点と偏差値の対照表があり、偏差値が100を超えているのを目にする(ただし、国数英600点満点で595点以上必要)。

IQ[編集]

  1. 知能指数。MENSAに入るのに必要らしい。
  2. 6歳児にもテストを行い、70以上あれば普通の小学校に入れる。
    • 医学的定義ではIQ70未満が「知的障害」の範囲になるため。
  3. 偏差値に似ているが、平均がIQ100に相当するところが異なる。
    • 原理的に差異はない
  4. たまにパズルゲームのCMで、IQを計る事ができるという謳い文句を掲げているのがあるが、あれのIQは正確なのだろうか?
    • ちなみにIQという名前のパズルゲームは実際に存在する。
  5. フィクションでは単純に頭の良さを計る指標として用いられている節があり、インフレがすさまじい。

有効数字[編集]

  • 化学や物理の計算でよく使う
  1. 有効数字の桁数が多いほど厳密である。10(有効数字1桁)は5以上15未満(幅が10)だが、10.0は9.95以上10.05未満(幅は0.1)という意味になる。
  2. 対数表に載ってる値(例:log102=0.3010)は有効数字4桁で表したものである。
  3. 問題でわざわざ有効数字○桁で答えよと指定されることもある。
  4. 計算する際は、一番有効数字の少ない値に合わせて答えなくてはならない。例えば半径12cmの円の面積を求める際に12と3.14という値を使うが12のほうが粗い(2桁)ので、答えもそちらに合わせて450cm2(有効数字2桁)とする。
    • テストにて。使った数字の中で、1つだけ有効数字が1桁しか無いものがあり、勿体無いと思いながら泣く泣く切り捨てる羽目に。(結局、その部分は出題ミスだった)
    • と思いきや、足し算で繰り上がりが起こると有効桁数が増えることもある。たとえば「5.6+9.3」の答えは2桁の「15」ではなく3桁の「14.9」。
      • 1.0+1.0+1.0+1.0+1.0+1.0+1.0+1.0+1.0+1.0=10.0、1.0×10=10
  5. 1.000は有効数字4桁だとすぐにわかるが、1000は有効数字1桁か4桁か見た目だけでは判別がつかない。
    • 有効数字の0なのか単なる位取りの0なのかがわからない。だから「1.000E3」などと書く。
  6. 有効数字に揃えるには、その下桁を四捨五入してはならない。必ずJIS丸め(銀行家丸め)を行う必要がある。
  7. 意外とコンピュータが苦手な計算。桁数が多くなると馬脚を現す。
    • 「1/3を計算せよ。ヨーイ、ドン!」
      • エクセル「=0.3333333333333330000…、ハァハァ」
      • 人間「=0.333333333333333333333333333333…、まだ続けます?(余裕)」
  8. 実務上で大事な概念のはずなのに、授業ではバックボーンについてちゃんと説明してくれない気がする。これがないと円周率約3.14が約3よりどう偉いのか(どっちみち近似値なのに)などが分からないと思うのだが。
  9. 財務計算では、頻繁に「1円未満切り捨て」とか「千円未満は切り捨て」という掟が出てくる。
    • 理系人間が財務計算に関わると、「こんなに有効な数字を切り捨てるなんてもったいない」という思いが込みあげてきて、ストレスになる。
      • そういう人が財務諸表の「単位:百万円」を見たら卒倒するでしょうね。ちなみに税務(納税額計算)でも計算上の値に対して「千円(百円)未満は無いものとする」事例が結構ある。

極限[編集]

  1. 初見の感想「方程式でよくね?」
    • やればやるほどなぜこの分野が必要かがわかってくる…。
  2. 連続の概念、一瞬戸惑う。当たり前すぎることだけど。
  3. 議論になりがちなのが、ロピタルの定理の使用の可否。
  4. ε-N論法(数列)、ε-δ論法(関数)は極限の定義を数式で表したもの。要は「ある値に限りなく近づく」ということ。
    • 「限りなく近づく」とは言っているが、「その値になる」とまでは言っていない。

行列[編集]

  1. 現在の指導要領では削除。
    • 高校でやらなくなったせいで、大学に入りいきなり面倒な目に会うことに。BOOKOFFで旧課程のチャート式を買うのが吉。
  2. 4*4くらいの行列でも、簡約化はしんどい。小学生レベルの計算を何回すればいいの。
  3. 大抵の人は意味わからずにやっていると思われる。
    • 昔は一次変換とセットだから意味があったのだが、行列計算だけを残すというアホなことをしたため、何のためにあるのか分からない単純作業になってしまった。
  4. 「右から掛ける」と「左から掛ける」を区別しなければならない。
    • 小学校で、交換法則があるにも関わらず掛け算の順序を強制されたお陰で、行列を習った時に「(先生の顔色をうかがうためではなく)本当に順番を交換してはいけない掛け算があるんだ」と感動する。
  5. 転置行列とかトレースなんて遊びとしか思えん。
  6. 正則行列の意味を聞いても、なぜそれを正則というのか理解に苦しむ。
    • セーソクの法則にたどり着くまでまでの辛抱だ、頑張れ!
  7. 実はベクトルは行列の一種だ。
    • 行列は(ベクトル空間の公理を満たすものという意味で)ベクトルであり、ベクトルは(数ベクトルで表せるという意味で)行列である。
    • 行ベクトルは1×n行列、列ベクトルはn×1行列である。
  8. 逆行列を求める方法としては、元の行列と単位行列を並べ、ある行を何倍かして別の行に足す・行同士を入れ替える・ある行を何倍か(0以外で)することを繰り返し、元の行列が単位行列になった時、初め単位行列になっていた区画はどうなっているか見ればよい(掃き出し法)。
    • これら操作(基本変形)は行列をかけることに相当し、行列が単位行列になったということは、全操作は逆行列をかけることに相当する。それを単位行列に書ければ逆行列になる、という論理から。
    • 自分の行・列を抜いた行列の行列式を求めてそれを並べて…という方法があるが、非効率的。
  9. これで連立方程式も解ける。係数を行列で書けば、逆行列をかければよい。
    • クラーメルの公式があるが、これも非効率である。やはり効率的なのは上記の基本変形を繰り返す方法である。
      • 掃き出し法は中学校で習った加減法そのものである。ただし、列に関しては基本変形をしてはいけない。係数をいじるため別の方程式になってしまう。
  10. 行列で指数関数を定義できる。テーラー展開の変数に行列を代入すればよい。
    • 例えば、行列Aと数値tに対してetA=E+At+(tA)2/2+(tA)3/6+...=Σn=0(tA)n/n!
      • 微分方程式では、eを底とする指数関数が解になる場合が多いので、連立微分方程式や2階以上の微分方程式を解く際これを定義するとやりやすくなる。
    • 指数関数以外も同様にテーラー展開をすれば定義可能である。ただ、あまり使わないとは思われるが。
  11. 行列にあるベクトル(0ベクトル以外)をかけると、そのベクトルの定数倍になることがある。このベクトルを固有ベクトルといい、係数を固有値という。
    • 式だとAx=kxつまり(A-kE)x=Oとなる。もしA-kEが逆行列を持てばx=0としかならないので、A-kEの行列式は0になる。
      • |A-kE|=0を固有方程式という。当たり前だが左辺でk=0とすればAの行列式になる。
  12. 独立(どの2ベクトルも別のものの定数倍と加減で表せない)な固有ベクトルがA(行数と列数が一緒)の行数と同じだけ用意出来たら、Aの対角成分以外をすべて0にできる。
    • 上記固有ベクトルを並べた行列Pとその逆行列P-1を用いてP-1APを計算すればよい。
      • APは各列が初めに置いた固有ベクトルの固有値倍になる。P-1をかければ各ベクトルは固有値だけ残して打ち消され、単位行列の各行に固有値をかけた形の行列が残る。
      • この対角行列のn乗は対角成分をそのままn乗すれば計算できる。一方(P-1AP)nはn乗するときPとP-1で打ち消しあうので、Anを計算するときも簡単。

位取り記数法[編集]

  1. 小学校の算数で扱う記数法は「10進法」だが、そこまで意識することはあまりない。
    • 10進位取り記数法ともいうらしい。長い。
  2. 10進法の数が「0」と「1」だけで表現できると知ると混乱せずにいられない。
    • 「10進法」と書くと紛らわしい。「十進法」と書いた方が混乱しない。
      • 例えば、二進法の「10」はだし、十二進法の「100」は百四十四だし、二十進法の「20」は四十だ。
        • 十二進法で整数を「y年」、小数第一位を「mヶ月」とすると:3.9で3年9ヶ月=45ヶ月(3912=4510)。39.0で45年=540ヶ月(39012=54010)。1A.6で22年6ヶ月=270ヶ月(1A612=27010)。
          • 同じく、整数第一位を「mヶ月」とすると、50は5年=60ヶ月(5012=6010)で、十二倍した500は60年=720ヶ月{(50×10=500)12=(60×12=720)10}。
  3. 情報処理を専攻するには2進・8進・16進法の計算もできなければならない。
    • 16進法では10~15をA・B・C・D・E・Fで代用する。
      • 俗で言う乱数とはこれの事。
    • 十二進法では、十進法の10がAで11がB。二十進法では、十進法の10~19をA~Jで代用する。
      • 1とI(十八)が紛らわしいと言うが、それなら8とB(十一)も充分紛らわしいと思う。
  4. 理論上、「n進法」の値「n」はいくらでも大きくできるが、数字を代替する文字がとても多くなる。
    • e(2.71282...)進法が一番効率がいいらしい
  5. 時間の単位では60進法が目立つ(1時間=60分=602秒など)。メソポタミア由来だったはず。
  6. ポケモン育成では三十二進法が出てくる。「個体値」という値が0〜31を取りうるのだが、最大値の31をV、次に大きい30をUと呼ぶのはこのため。6個の個体値のうち4つが31のポケモンは「4V」と呼ばれたりする(このため最小値の0を「逆V」と呼ぶのは厳密には正しくない)。

アルゴリズム[編集]

  1. 最適解を求めるために、モデルを数十~数百単位で用意し、コンピュータで計算させ、何回か繰り返したのちよさそうなものを選び、またコンピュータで計算させることの繰り返し。
    • そのため、時間がかかる。
    • というのは遺伝的アルゴリズムの話。アルゴリズムはこれだけではなく、簡単なところだと割り算の筆算やユークリッドの互除法などもアルゴリズムの一種である。
    • 「決まった手順に従って計算してけばいつかは答えが出る」というのがアルゴリズム。この「決まった手順」というのが重要で、推論のような要素がないのでコンピュータで機械的に処理することができる。
  2. 「成長する計算」と言っても過言ではない。
  3. 新幹線N700系電車ができたのもこの技術のおかげ。
  4. 体操
    • 行進
    • アルゴリズム行進は並列アルゴリズムをよく可視化できてると思う。アルゴリズム体操のほうは偶奇性かな?

立方根[編集]

  1. 3乗してaになる数のaに対する称。またの名を3乗根。「3√a」と表記する。例えば、8の立方根は2。
  2. あらかじめ体積や容積が分かっている物体の寸法を算出する際に使うことが多い。
    • 例として一辺が1cmの立方体の容積は1ccだが、仮に容積を2ccとする場合、一辺は≒1.26cmとなる。
  3. 定規とコンパスによる作図では出すことが出来ない値。立方倍積問題として古代ギリシアからの問題。
    • なお折り紙では2の立方根が表現できる。
  4. 戦前には、開立法というのがあったらしい。

複素数[編集]

  1. 負の数同様、存在価値が長らく認められなかったが、存在したほうが都合が良いということになり定着したもの。
  2. 量子力学では特に重要。
    • 量子力学に限らず、物理学でも複素数で表すとシンプルに書けるものが多い。特にオイラーの式から三角関数は虚数が指数の指数関数で書けるので、三角関数で書かれた波動の理論をシンプルに記述できる。量子力学では粒子も波動として扱うのでなおさら。
    • 電気回路でも重要。
  3. 行列が指導要領から消えた今、一次変換の代用として猛威を振るう

テトレーション[編集]

  1. 足し算(加法)の反復が掛け算(乗法)、掛け算の反復が累乗であることに基づき、累乗の反復として定義したのがテトレーション。
  2. テトレーションの表し方は累乗が右上に数字を書くのに対して、aテトレーションb=baのように左上に数字を書くものや、クヌーヌの矢印表記と呼ばれるa↑↑bと上向き矢印を2つ書いて表す方法などがある。
  3. 33333=3↑↑3。
    • 222242=2↑↑4。
    • 指数の右上から計算する。累乗には足し算や掛け算と違って交換法則はないため左下から計算すると答えが違ってくるので注意。
    • ちなみに42は65536、33は7,625,597,484,987。
  4. テトレーションを習う学校はあるのか不明。
    • 人類の9割以上がテトレーションというものの存在を知らないかもしれない。筆者も27歳にして最近知った。
    • そもそも定義したはいいが何に利用するかわからないし。
  5. 2x=xx(又はその逆数)の0から1までの定積分は二年生の夢と呼ばれるらしい。

関連項目[編集]




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